Past Meetings Archive

Browse by year

2019
2018
2017
2016
2015

2019

Shelves and the matched product of solutions of the Yang-Baxter equation

May 15, 2019
11.00 – 13.00 – Aula Seminari
Ilaria Colazzo

In this talk, we focus on the matched product of solutions associated with shelves, and we simplify the conditions that allow obtaining this product. Furthermore, we study the properties of the shelf related to the matched product of two left non-degenerate solutions.

About a question of Gateva-Ivanova and Cameron

April 10, 2019
11.00 – 13.00 – Aula M5
Marco Castelli

In 2011 Gateva-Ivanova and Cameron [2], following a suggestion due by P. Martin, posed the following question:

Question. For each positive integer $m$ denote by $N_m$ the minimal integer so that there exists a square-free involutive multipermutational solution $(X_m,r_m)$ of order $|X_m| = N_m$ and with $mpl(X_m, r_m) = m$ . How does $N_m$ depend on $m$ ?

They showed [2] that $N_m \geq 2^{m-1} + 1$ for every $m \in N$ and, some years later, Lebed and Vendramin improve [3] the estimation showing indirectly that $N_m \leq 2^{m-2}$ for every $m > 4$ . In this talk we will present some recent results obtained in [1] that allow us to improve the estimation of the sequence $N_m$ .

Nuove costruzioni di soluzioni insiemistiche dell’equazione di Yang-Baxter

April 4, 2019
11.00 – 13.00 – M5
Francesco Catino

Partendo da alcuni esempi, si indicheranno alcune piste di lavoro per la costruzione di nuove soluzioni insiemistiche dell’equazione di Yang-Baxter.

On the matched product of set-theoretical solutions

March 20, 2019
11.00 – 13.00 – M5
Paola Stefanelli

The problem of finding set-theoretical solutions of the Yang-Baxter equation [2] (shortly solutions) has been dealt with from different points of view in the last years.
In [1] a novel construction technique for solutions was developed, the matched product. In this talk, we will display a method to construct new classes of particular solutions through the matched product of other solutions in the same class. As a particular case, starting from involutive (resp. idempotent) solutions the matched product is still involutive (resp. idempotent), and vice versa.

[1] F. Catino, I. Colazzo, P. Stefanelli, The matched product of set-theoretical solutions of the Yang-Baxter equation, submitted.
[2] V.G. Drinfeld, On some unsolved problems in quantum group theory. Lecture Notes in Math. 1510 (1992) 1-8

Indecomposable cycle sets with cyclic permutation group

March 13, 2019
11.00 – 13.00 – M5
Giuseppina Pinto

In order to study the indecomposable cycle sets, a possible approach involves the permutation group associated to the cycle sets.

In this talk we consider the particular case of indecomposable cycle sets with cyclic permutation group. We will introduce, in this particular case, the definition of the Socle of a cycle sets and we will see how an indecomposable cyle sets with cyclic permutation group can be pictured.

[1] M. Castelli, G. Pinto, Indecomposable involutive set-theoretic solutions with cyclic permutation group, work in progress.

The Retraction Problem for quasi-linear left cycle sets

March 6, 2019
11.00 – 13.00 – Aula Seminari
Marco Castelli

In this talk we will discuss on a particular class of left cycle sets called quasi-linear. We will see briefly the basic theory and we will discuss on a problem posed by Rump in [2] and the related partial results obtained in [1].

[1] M. Castelli, F. Catino, M.M. Miccoli and G. Pinto, Dynamical extensions of quasi-linear left cycle sets and the Yang-Baxter equation, Journal Algebra Appl. (to appear).
[2] W. Rump, Quasi-Linear Cycle Sets and the Retraction Problem for Set-Theoretic Solutions of the Quantum Yang-Baxter Equation, AlgebraColloq.23 (1) (2016) 149-166.

Application of the Yang-Baxter equation to particle collisions

February 27, 2019
11.00 – 13.00 – F2
Giuseppe Rizzello

The set-theoretical Yang-Baxter equation presents a form, called two-parameter set-theoretical Yang-Baxter equation, where the solutions depends precisely from two parameters. This formulation can be used in the study of systems of particles which collide among themselves, since from the conservation laws of this system we can derive the velocities after the collisions in terms of their masses (the parameters) and their velocities before the collisions and obtain this way a solution of said equation. This fact allow us to examine the integrability (that is the solvability) of a particular system periodic sequences of collisions.

Structure monoid of left non-degenerate solutions to the Yang—Baxter equation

February 20, 2019
11.00 – 13.00 – Aula Benvenuti
Arne Van Antwerper
(joint work with Eric Jespers and Lukasz Kubat)

In this talk we will discuss the structure monoid $M(X,r)$ of a finite left non-degenerate solution of the Yang–Baxter equation and its associated monoid algebra. Using a realization of Lebed and Vendramin of $M(X,r)$ as a regular submonoid in the semidirect product $A(X,r) \rtimes\textup{Sym}(X)$ , we will prove that $KM(X,r)$ is a finite module over a central affine subalgebra. In particular, it is a Noetherian PI-algebra of finite Gelfand–Kirillov dimension. Furthermore, we will discuss some results on prime ideals of $M(X,r)$ and we will discuss the positive answer to a conjecture of Gateva–Ivanova on cancellativity of $M(X,r)$ .

Relation between braces and units of group rings

February 13, 2019
11.00 – 13.00 – Aula Benvenuti
Charlotte Verwimp

Finding solutions of the Yang-Baxter equation has been the subject of many studies in pure mathematics and theoretical physics. In particular, as proposed by Drinfeld [1], the study of set-theoretic solutions has been very attractive over the past few years. One of the tools to study these solutions, called braces, were introduced by Rump [2]. In this talk, we want to show another useful application of braces. In particular we describe a relation between braces and units of group rings [3]. In joint work with Lukasz Kubat, we try to generalize this result for skew braces, a generalization of braces. To do so, we define group near-rings, a generalization of group rings.

[1] V.G. Drinfeld. On some unsolved problems in quantum group theory. Lecture Notes in Math, 1510:1-8, 1992.
[2] W. Rump. Braces, radical rings, and the quantum Yang-Baxter equation. J. Algebra, 307:153-170, 2007.
[3] Y.P. Sysak. Product of groups and the quantum Yang-Baxter equation. Notes of a talk in Advances in Group Theory and Applications, 2011, Porto Cesareo.

Matched product of solutions and semi-braces

February 08, 2019
11.00 – 13.00 – Aula Benvenuti
Ilaria Colazzo

The study of the set-theoretical solutions of the Yang-Baxter equation (simply solutions) was introduced in [Drinfeld, 1992]. First, we will introduce a novel solutions construction technique called the matched product of solutions. Then we will give some interesting results which show that the matched product is a useful tool to construct solutions with specific proprieties, such as non-degeneracy and involutivness. Finally, we will introduce the definition of the matched product of two semi-braces and we will see the relationship between matched product of solutions and matched product of semi-braces.

Soluzioni dell’equazione pentagonale su un gruppo

31 gennaio 2019
ore 11.00-12.00 – Aula Benvenuti
Marzia Mazzotta

In questo incontro introdurremo le soluzioni insiemistiche dell’equazione pentagonale. A partire da una problematica che emerge nell’articolo di Kashaev e Reshetikhin [R.M. Kashaev, N. Reshetikhin, Symmetrically Factorizable Groups and Set-theoretical Solutions of the Pentagon Equation, Contemp. Math. 433 (2007), 267 – 279], esamineremo, in particolare, il caso di quelle definite su un gruppo.

2018

Semi-braces and regular subgroups

27 aprile 2018
ore 11.00-12.00 – Aula Seminari
Ilaria Colazzo

We introduce a suitable definition of the holomorph of a right group and we provide a description of all left semi-brace over a given right group in terms of regular subgroups of the holomorph.
This result generalizes the correspondence between skew left braces and regular subgroups of a group provided by Guarnieri and Vendramin in [L. Guarnieri and L. Vendramin, Skew braces and the Yang-Baxter equation, Math. Comp. 86 (2017), 2519–2534].

An overview of semi-braces

18 aprile 2018
ore 11.00-12.00 – Aula M5
Paola Stefanelli

In this seminar I will present left semi-braces, the algebraic structures introduced in [F. Catino, I. Colazzo, P. Stefanelli, Semi-braces and the Yang-Baxterequation, J. Algebra 483 (2017)163-187]. In particular, I will describe basic structural properties of a semi-brace providing a clear characterization of the additive structure.
Finally, I will show how to obtain a solution of the Yang-Baxter through any semi-brace.

Brace finiti e soluzioni dell’equazione di Yang-Baxter

14 febbraio 2018
ore 09.30-10.30 – Aula Benvenuti
Paola Stefanelli

I brace, strutture algebriche introdotte da Rump nel 2007, risultano essere strumenti efficaci per la costruzione di soluzioni insiemistiche dell’equazione di Yang-Baxter.
In questo incontro analizzeremo alcuni aspetti legati ai brace finiti nilpotenti. In particolare, vedremo le proprietà di cui godono le soluzioni associate a questi brace e discuteremo alcuni risultati recenti.

Sui brace di ordine p^2q

31 gennaio 2018
ore 09.30-10.30 – Aula Benvenuti
Ilaria Colazzo

In questo incontro descriveremo i brace di ordine p²q. In particolare, si introdurrà il prodotto semidiretti di brace e si mostrerà come tutti i brace di ordine p²q siano prodotti semidiretti di particolari brace. Grazie a questa costruzione si risponderà a tre congetture di Guarnieri e Vendramin sul numero di classi non isomorfe di brace.

I risultati principali che saranno presentati in questo incontro si trovano in Carsten Dietzel, Braces of order p²q, arxiv, 21 Jan 2018.

L’Heisenberg double di un’algebra di Hopf

17 gennaio 2018
ore 09.30-10.30 – Aula Benvenuti
Marzia Mazzotta

In questo incontro verrà introdotta l’Heisenberg double H(A) di un’algebra di Hopf A, un’algebra associativa costruita a partire da un’algebra di Hopf di dimensione finita. Inoltre, si presenteranno alcuni risultati di R. M. Kashaev in “The Heisenberg double and the pentagon relation” e verrà mostrato come un elemento canonico di H(A) soddisfi l’equazione pentagonale.

2017

Racks, quandles e l’equazione di Yang- Baxter

19 dicembre 2017
ore 09.00-11.00 – Aula Benvenuti
Giuseppina Pinto

I racks e i quandles sono strutture algebriche legate alle soluzioni insiemistiche
non-degeneri dell’equazione di Yang- Baxter. In questo incontro si presenteranno
alcuni risultati ottenuti in [N. Andruskiewitsch, M. Graña, From racks to pointed Hopf algebras, Adv. Math. 178 (2) (2003) 177] da N. Andruskiewitch
e M. Graña, i quali, al ne di trovare nuovi esempi, introducono
il concetto di estensione con cocicli dinamici di racks e quandles.

Estensione dinamica di cycle sets sinistri

28 novembre 2017
ore 09.30-10.30 – Aula Benvenuti
Marco Castelli

Verrà presentata una nuova costruzione di cycle sets introdotta da Vendramin in [L. Vendramin, Extensions of set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation and a conjecture of Gateva-Ivanova, J. Pure Appl. Algebra 220 (5)] per ottenere un controesempio alla Congettura di Gateva-Ivanova.

Brace semplici e prodotto asimmetrico

14 novembre 2017
ore 15.00-17.00 – Aula Benvenuti
Paola Stefanelli

In questo incontro si esaminerà il problema, tuttora aperto, di classificare tutti i brace semplici finiti. Si presenteranno recenti risultati ottenuti in [D. Bachiller, F. Cedó, E. Jespers, J.Okniński, Asymmetric product of left braces and simplicity; new solutions of the Yang-Baxter equation. arXiv preprint (2017)] da Bachiller, Cedó, Jespers e Okniński i quali determinano nuove classi di brace semplici utilizzando il prodotto asimmetrico, costruzione di brace introdotta in [F. Catino, I. Colazzo, P. Stefanelli, Regular subgroups of the affine group and asymmetric product of radical braces, J. Algebra 455 (2016) 164–182].

Hopf brace

31 ottobre 2017
ore 15.00-17.00 – Aula seminari
Ilaria Colazzo

Si esaminerà una nuova struttura algebrica, gli hopf brace, introdotta da Angiono, Galindo e Vendramin, che comprendono come caso particolare tanto i brace di Rump quanto la loro versione non commutativa introdotta da Vendramin. Dopo aver introdotto la definizione di hopf brace si vedrà come a partire da una struttura di questo tipo si possa costruire un operatore di Yang-Baxter. (vedi On Proc. Amer. Math. Soc. 145 (2017), 1981-1995)

Alcune strutture algebriche tra anelli e braces

17 ottobre 2017
09:00-11:00 – Aula Seminari
Francesco Catino

Si esamineranno alcune strutture algebriche che generalizzano il concetto
di anello.
In particolare, si esporranno i principali risultati del recente articolo
di T. Brzezinski (vedi arXiv).

Soluzioni idempotenti dell’equazione di Yang-Baxter: un’introduzione

28 aprile 2017
11:00-13:00 – Aula Seminari
Marzia Mazzotta

In questo incontro introdurremo le soluzioni insiemistiche idempotenti dell’equazione di Yang-Baxter. In particolare, evidenzieremo una rappresentazione del monoide di Coxeter da esse indotta e alcuni risultati del monoide struttura, mediante l’utilizzo del calcolo grafico con i diagrammi intrecciati (vedi arXiv).

Il gruppo generato dalle funzioni di round di un cifrario di tipo GOST

18 aprile 2017
16:00-17:00 – Aula Seminari
Riccardo Aragona (Università degli Studi di Trento)

La maggior parte dei cifrari a blocchi è ottenuta mediante la composizione di un serie di funzioni di round, ossia permutazioni – dipendenti da una chiave – dello spazio dei messaggi. Un interessante problema di ricerca è quello di studiare il gruppo generato da tali funzioni di round, le cui proprietà possono rilevare debolezze del cifrario. È noto ad esempio che se tale gruppo è imprimitivo, allora il cifrario è vulnerabile. In questo seminario si descriverà un lavoro congiunto con Andrea Caranti e Massimiliano Sala (vedi Springer e slide R. Aragona – Il gruppo generato dalle funzioni di round di un cifrario di tipo GOST), dove si definisce un’estensione di GOST, standard governativo russo, e si studia il gruppo generato dalle sue funzioni di round. Applicando il Lemma di Goursat che caratterizza i sottogruppi del prodotto diretto di due gruppi, si mostra che tale gruppo è primitivo. Inoltre si accenna a come dimostrare, utilizzando la classificazione di O’Nan-Scott dei gruppi primitivi, che tale gruppo è il gruppo alterno.

Crittanalisi rispetto a operazioni alternative

18 aprile 2017
15:00-16:00 – Aula Seminari
Roberto Civino (Università degli Studi di Trento)

La crittanalisi differenziale è un potente attacco statistico contro i cifrari a blocchi che fa uso di un certo numero di coppie di messaggi aventi differenza fissata, allo scopo di recuperare alcuni bit della chiave. I moderni cifrari sono progettati per resistere a questo attacco. In questo seminario si mostrerà come un cifrario resistente rispetto all’attacco di crittanalisi differenziale standard possa essere vulnerabile se si considerano altre operazioni di differenza sullo spazio dei messaggi, definite dall’azione di sottogruppi abeliani elementari regolari del gruppo affine (vedi arXiv e slide R. Civino – Crittanalisi rispetto a operazioni alternative).

Una nuova famiglia di soluzioni insiemistiche dell’equazione di Yang-Baxter

19 gennaio 2017
11:00-13:00 – Aula Seminari
Marco Castelli

In questo incontro presenteremo una nuova costruzione di cycle sets, che permette di trovare una famiglia di soluzioni insiemistiche dell’equazione di Yang-Baxter che include le soluzioni trovate da Bachiller, Cedò, Jespers e Okninski nel 2016 (vedi “A family of irretractable square-free solutions of the Yang-Baxter equation” arXiv).

2016

Il prodotto asimmetrico di brace

29 gennaio 2016
11:00-13:00 – Aula Seminari
Ilaria Colazzo

In questo incontro presenteremo una nuova costruzione di brace, detta prodotto asimmetrico. Specializzeremo questo risultato agli F-brace, una particolare sottoclasse di brace su uno spazio vettoriale, che sono in corrispondenza con i sottogruppi regolari del gruppo affine (vedi F. Catino, R. Rizzo, 2009 MathSciNet). Il prodotto asimmetrico di F-brace permette di costruire sottogruppi regolari che abbiano intersezione banale con le traslazioni generalizzando, così, un’importante costruzione dovuta ad Hegedus (2000, vedi MathSciNet).

Il gruppo struttura

15 gennaio 2016
15:00-17:00 – Aula Seminari
Giusi Pinto

Il gruppo struttura è un particolare gruppo generato a partire dalle soluzioni insiemistiche dell’equazione di Yang Baxter (vedi P. Etingof, T. Schedler, A. Soloviev “Set-Theoretical Solutions to the Quantum Yang Baxter equation” , Duke Math. J. 100 (1999) 169-209) . Analizzeremo le sue proprietà e i legami con la suddetta equazione.

2015

F-brace e sottogruppi regolari del gruppo affine

13 novembre 2015
15:00-17:00 – Aula Seminari
Paola Stefanelli

Come dimostrato da F. Catino e R. Rizzo nel 2009 (vedi su MathSciNet), esiste una corrispondenza tra i sottogruppi regolari del gruppo affine AGL(V) e gli F-brace aventi V come sottostante spazio vettoriale. Pertanto, la problematica tuttora aperta di determinare tutti i sottogruppi regolari di AGL(V) può essere affrontata fornendo costruzioni sistematiche di F-brace.

Algebre di Hopf quasi-cocommutative

29 ottobre 2015
11.00-13.00 – Aula seminari
Ilaria Colazzo

Le algebre di Hopf quasi-cocommutative sono un’importante generalizzazione delle algebre di Hopf cocommutative. Rivestono un ruolo centrale nello studio dei quantum groups.

Sono da considerarsi prerequisiti gli appunti del corso “Introduzione alle algebre di Hopf”.